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Reinhart Behr: Teilung eines Grundstücks - Lösung rechnerisch
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#1: Gesucht ist die Länge der Strecke V_Q = x
so,
dass die Fläche A_UVQR die Hälfte der
Gesamtfläche ist.
a + c
#2: A_SPQR ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯·b
2
#3: Für die Hälfte
davon gilt deshalb:
a + c
#4: A_UVQR ≔
⎯⎯⎯⎯⎯·b
4
#5: Andererseits lässt
sich die Fläche A_UVQR
auch als Differenz des
Trapezes TVQR und des
Dreiecks TUV darstellen:
(c - z) + c
#6: A_TVQR ≔
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯·w
2
u·(c - z)
#7: A_TUV ≔
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
#8:
A_UVQR = A_TVQR - A_TUV
z·(u - w) + c·(2·w - u)
#9: A_UVQR =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
a + c z·(u - w) + c·(2·w - u)
#10:
⎯⎯⎯⎯⎯·b =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 2
#11: Die Dreiecke TUV, VZQ und PWQ sind einander
ähnlich.
Deshalb gilt:
u z z d
#12:
⎯⎯⎯⎯⎯ =
⎯ ∧ ⎯ =
⎯
c -
z w w b
#13: Daraus ergibt sich:
z·(c - z) b·z
#14: w =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
∧ w = ⎯⎯⎯
u d
#15: Nun wird w = b·z/d in die erste Gleichung
von #12 eingesetzt:
u z
⎯⎯⎯⎯⎯ =
⎯⎯⎯⎯⎯
#16: c - z
b·z
⎯⎯⎯
d
d·(c - z)
#17: u =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
b
#18: Mit u, w und d=c-a kann die Gleichung #10
reduziert werden:
#19:
a + c
⎯⎯⎯⎯⎯·b =
4
#20: Die Auflösung nach z ergibt:
2 2
√2·b·√(a + c )
#21:
z1 ≔ c - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2
2 2
2·√(a
- 2·a·c + b + c )
2
2
√2·b·√(a + c )
#22:
z2 ≔ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ + c
2 2
2
2·√(a - 2·a·c + b
+ c )
#23: Da c > z gilt, wird mit z1 weitergerechnet.
#24: Die Strecke P_Q hat die Länge e=sqrt(b^2
+d^2).
#25: Im Dreieck PWQ gilt also:
x e
#26: ⎯ = ⎯
z d
e·z
#27:
x = ⎯⎯⎯
d
2 2
√(b + d )·z
#28:
x = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
d
#29: Mit d=c-a folgt
2 2
√(b + (c - a) )·z
#30: x =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
c - a
#31: Das ergibt für z:
x·(c - a)
z =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
#32: 2 2 2
√(a - 2·a·c + b + c )
#33: Das wird mit z1 aus Zeile #21 gleichgesetzt und
nach x aufgelöst:
2 2
√2·b·√(a + c ) x·(c - a)
#34: c -
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
= ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 2 2 2 2 2
2·√(a - 2·a·c + b
+ c ) √(a - 2·a·c + b
+ c )
2 2 2 2 2
√2·(√2·c·√(a - 2·a·c + b
+ c ) - b·√(a + c ))
#35: x =
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·(c - a)
#36: Das ist die Länge der Strecke VQ in
Abhängigkeit von den Seiten
a, b und c, wenn die Senkrechte im Punkte V das Grundstück
halbieren soll.
#38: ----------------------------------------
#39: Es ist klar, dass die Strecke VQ keinesfalls
immer die Hälfte der
Strecke PQ sein wird.
#40: Für welche Maße der Seiten a, b und c ist es
aber die Hälfte?
#41: Die Strecke P_Q hat die Länge:
2 2
#42:
e = √(d + b )
#43: und d ist c-a:
2 2
#44:
e = √((c - a) + b )
#45: Wenn x aus #35 die Hälfte der Strecke sein
soll, muss e = 2*x
gelten:
2 2
#46: √((c - a) + b ) =
2 2 2 2 2
√2·(√2·c·√(a - 2·a·c + b
+ c ) - b·√(a + c ))
2·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·(c - a)
#47: Diese Gleichung hat unendlich viele
Lösungen, aber eine triviale
ist: b=a+c !
#48: Probe:
2 2
#49: √((c - a) + (a + c) ) =
2 2 2 2 2
√2·(√2·c·√(a - 2·a·c + (a + c) + c ) - (a + c)·√(a
+ c ))
2·⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2·(c - a)
2 2 2 2
#50: √2·√(a + c ) = √2·√(a
+ c )
#51: Wenn also die Seite b die Summe der Seiten a
und c ist, dann teilt
die Senkrechte auf der Mitte der Seite
P-Q das Flächenstück in
zwei gleiche Teile.
#52: Es gibt aber auch andere Seitenverhältnisse
bei denen die
Senkrechte auf der Seitenmitte das
Flächenstück halbiert, man
denke nur an Rechtecke.
#53: Es gibt jedoch auch Seitenverhältnisse bei
denen die Senkrechte
auf der Hälfte der Seitenmitte das
Flächenstück nicht halbiert.